Quelle  _Chapter_Twisted_conjugacy.xml   Sprache: XML

<?xml version="1.0" encoding="UTF-8"?>

<!-- This is an automatically generated file. -->
<Chapter Label="Chapter_Twisted_conjugacy">
<Heading>Twisted conjugacy</Heading>

<Section Label="Chapter_Twisted_conjugacy_Section_The_twisted_conjugation_action">
<Heading>The twisted conjugation action</Heading>

 Let <Math>G</Math> and <Math>H</Math> be groups and let <Math>\varphi</Math> and <Math>\psi</Math> be group
 homomorphisms from <Math>H</Math> to <Math>G</Math>. The pair <Math>(\varphi,\psi)</Math> induces a
 (right) group action of <Math>H</Math> on <Math>G</Math> given by the map <Display>G \times H \to G
 \colon (g,h) \mapsto \varphi(h)^{-1} g\,\psi(h).</Display>
 This group action is called <Emph><Math>(\varphi,\psi)</Math>-twisted conjugation</Emph>.
 <P/>
 If <Math>G = H</Math>, <Math>\varphi</Math> is an endomorphism of <Math>G</Math> and
 <Math>\psi = \operatorname{id}_G</Math>, then the action is usually called
 <Emph><Math>\varphi</Math>-twisted conjugation</Emph>.
 In general, for the &PACKAGENAME; package, many functions will take
 two homomorphisms <A>hom1</A> and <A>hom2</A> as arguments. However, if
 <A>hom1</A> is an endomorphism, <A>hom2</A> can be omitted, in which case it
 is automatically taken to be the identity map.
<P/>
 Similarly, some functions will take two elements <A>g1</A> and <A>g2</A> as
 arguments. If <A>g2</A> is omitted, it is automatically taken to be the
 identity element.
<ManSection>
  <Func Arg="hom1[, hom2]" Name="TwistedConjugation" />
 <Returns>a function that maps the pair <C>(g,h)</C> to  <A>hom1</A><C>(h)⁻¹</C> <C>g</C> <A>hom2</A><C>(h)</C>.
</Returns>
 <Description>
<P/>
 </Description>
</ManSection>


</Section>


<Section Label="Chapter_Twisted_conjugacy_Section_The_twisted_conjugacy_search_problem">
<Heading>The twisted conjugacy (search) problem</Heading>

 Given groups <Math>G</Math> and <Math>H</Math>, group homomorphisms <Math>\varphi</Math> and <Math>\psi</Math> from <Math>H</Math>
 to <Math>G</Math> and elements <Math>g_1, g_2 \in G</Math>, the <Emph>twisted conjugacy problem</Emph> is
 the decision problem that asks whether <Math>g_1</Math> and <Math>g_2</Math> are
 <Math>(\varphi,\psi)</Math>-twisted conjugate.
 The <Emph>twisted conjugacy search problem</Emph> is the problem of determining
 an explicit <Math>h</Math> such that <Math>\varphi(h)^{-1}g_1\psi(h) = g_2</Math> (under the
 assumption that such <Math>h</Math> exists).
<ManSection>
  <Func Arg="hom1[, hom2], g1[, g2]" Name="IsTwistedConjugate" />
 <Returns><K>true</K> if <A>g1</A> and <A>g2</A> are  <C>(<A>hom1</A>,<A>hom2</A>)</C>-twisted conjugate, otherwise <K>false</K>.
</Returns>
 <Description>
<P/>
 </Description>
</ManSection>


<ManSection>
  <Func Arg="hom1[, hom2], g1[, g2]" Name="RepresentativeTwistedConjugation" />
 <Returns>an element that maps <A>g1</A> to <A>g2</A> under the  <C>(<A>hom1</A>,<A>hom2</A>)</C>-twisted conjugacy action, or <K>fail</K> if
  no such element exists.
</Returns>
 <Description>
 If the source group is finite, this function relies on orbit-stabiliser
 algorithms provided by &GAP;. Otherwise, it relies on a mixture of the
 algorithms described in <Cite Key='roma16-a' Where='Thm. 3'/>,
 <Cite Key='bkl20-a' Where='Sec. 5.4'/>,
 <Cite Key='roma21-a' Where='Sec. 7'/> and <Cite Key='dt21-a'/>.
 </Description>
</ManSection>


<Example><![CDATA[
gap> G := AlternatingGroup( 6 );;
gap> H := SymmetricGroup( 5 );;
gap> phi := GroupHomomorphismByImages( H, G, [ (1,2)(3,5,4), (2,3)(4,5) ],
>  [ (1,4)(3,6), () ] );;
gap> psi := GroupHomomorphismByImages( H, G, [ (1,2)(3,5,4), (2,3)(4,5) ],
>  [ (1,2)(3,4), () ] );;
gap> tc := TwistedConjugation( phi, psi );;
gap> g1 := (4,6,5);;
gap> g2 := (1,6,4,2)(3,5);;
gap> IsTwistedConjugate( psi, phi, g1, g2 );
false
gap> h := RepresentativeTwistedConjugation( phi, psi, g1, g2 );
(1,2)
gap> tc( g1, h ) = g2;
true
]]></Example>


</Section>


<Section Label="Chapter_Twisted_conjugacy_Section_The_multiple_twisted_conjugacy_search_problem">
<Heading>The multiple twisted conjugacy (search) problem</Heading>

 Let <Math>H</Math> and <Math>G_1, \ldots, G_n</Math> be groups. For each <Math>i \in \{1,\ldots,n\}</Math>,
 let <Math>g_i,g_i' \in G_i and let $\backslash varphi\_i,\backslash psi\_i\backslash colon\; H\; \backslash to\; G\_i$ be group
 homomorphisms.
 The <Emph>multiple twisted conjugacy problem</Emph> is
 the decision problem that asks whether there exists some <Math>h \in H</Math> such that
 <Math>\varphi_i(h)^{-1}g_i\psi_i(h) = g_i' for all $i\; \backslash in\; \backslash \{1,\backslash ldots,n\backslash \}$.
 The <Emph>multiple twisted conjugacy search problem</Emph> is the problem of
 determining an explicit <Math>h</Math> such that <Math>\varphi_i(h)^{-1}g_i\psi_i(h) = g_i'
 for all <Math>i \in \{1,\ldots,n\}</Math> (under the assumption that such <Math>h</Math> exists).
 <P/>
 <Ref Func="IsTwistedConjugate" Style="Number"/> and
 <Ref Func="RepresentativeTwistedConjugation" Style="Number"/> can take lists
 instead of their usual arguments to solve these problems.
<Example><![CDATA[
gap> H := SymmetricGroup( 5 );;
gap> G := AlternatingGroup( 6 );;
gap> phi := GroupHomomorphismByImages( H, G, [ (1,2)(3,5,4), (2,3)(4,5) ],
>  [ (1,4)(3,6), () ] );;
gap> psi := GroupHomomorphismByImages( H, G, [ (1,2)(3,5,4), (2,3)(4,5) ],
>  [ (1,2)(3,4), () ] );;
gap> tau := GroupHomomorphismByImages( H, G, [ (1,2)(3,5,4), (2,3)(4,5) ],
>  [ (1,2)(3,6), () ] );;
gap> khi := GroupHomomorphismByImages( H, G, [ (1,2)(3,5,4), (2,3)(4,5) ],
>  [ (1,3)(4,6), () ] );;
gap> IsTwistedConjugate( [ phi, psi ], [ khi, tau ],
>  [ (1,5)(4,6), (1,4)(3,5) ], [ (1,4,5,3,6), (2,4,5,6,3) ] );
true
gap> RepresentativeTwistedConjugation( [ phi, psi ], [ khi, tau ],
>  [ (1,5)(4,6), (1,4)(3,5) ], [ (1,4,5,3,6), (2,4,5,6,3) ] );
(1,2)
]]></Example>


</Section>


</Chapter>