Anforderungen  |   Konzepte  |   Entwurf  |   Entwicklung  |   Qualitätssicherung  |   Lebenszyklus  |   Steuerung
 
 
 
 


Quellcode-Bibliothek

© Kompilation durch diese Firma

[Weder Korrektheit noch Funktionsfähigkeit der Software werden zugesichert.]

Datei: Intuitionistic.thy   Sprache: Isabelle

Original von: Isabelle©

(*  Title:      FOL/ex/Intuitionistic.thy
    Author:     Lawrence C Paulson, Cambridge University Computer Laboratory
    Copyright   1991  University of Cambridge
*)


section \<open>Intuitionistic First-Order Logic\<close>

theory Intuitionistic
imports IFOL
begin

(*
Single-step ML commands:
by (IntPr.step_tac 1)
by (biresolve_tac safe_brls 1);
by (biresolve_tac haz_brls 1);
by (assume_tac 1);
by (IntPr.safe_tac 1);
by (IntPr.mp_tac 1);
by (IntPr.fast_tac @{context} 1);
*)



text\<open>Metatheorem (for \emph{propositional} formulae):
  $P$ is classically provable iff $\neg\neg P$ is intuitionistically provable.
  Therefore $\neg P$ is classically provable iff it is intuitionistically
  provable.

ProofLet $Q$ be the conjunction of the propositions $A\vee\neg A$, one for
each atom $A$ in $P$.  Now $\neg\neg Q$ is intuitionistically provable because
$\neg\neg(A\vee\neg A)$ is and because double-negation distributes over
conjunction.  If $P$ is provable classically, then clearly $Q\rightarrow P$ is
provable intuitionistically, so $\neg\neg(Q\rightarrow P)$ is also provable
intuitionistically.  The latter is intuitionistically equivalent to $\neg\neg
Q\rightarrow\neg\neg P$, hence to $\neg\neg P$, since $\neg\neg Q$ is
intuitionistically provable.  Finallyif $P$ is a negation then $\neg\neg P$
is intuitionstically equivalent to $P$.  [Andy Pitts]\<close>

lemma \<open>\<not> \<not> (P \<and> Q) \<longleftrightarrow> \<not> \<not> P \<and> \<not> \<not> Q\<close>
  by (tactic \<open>IntPr.fast_tac \<^context> 1\<close>)

lemma \<open>\<not> \<not> ((\<not> P \<longrightarrow> Q) \<longrightarrow> (\<not> P \<longrightarrow> \<not> Q) \<longrightarrow> P)\<close>
  by (tactic \<open>IntPr.fast_tac \<^context> 1\<close>)

text \<open>Double-negation does NOT distribute over disjunction.\<close>

lemma \<open>\<not> \<not> (P \<longrightarrow> Q) \<longleftrightarrow> (\<not> \<not> P \<longrightarrow> \<not> \<not> Q)\<close>
  by (tactic \<open>IntPr.fast_tac \<^context> 1\<close>)

lemma \<open>\<not> \<not> \<not> P \<longleftrightarrow> \<not> P\<close>
  by (tactic \<open>IntPr.fast_tac \<^context> 1\<close>)

lemma \<open>\<not> \<not> ((P \<longrightarrow> Q \<or> R) \<longrightarrow> (P \<longrightarrow> Q) \<or> (P \<longrightarrow> R))\<close>
  by (tactic \<open>IntPr.fast_tac \<^context> 1\<close>)

lemma \<open>(P \<longleftrightarrow> Q) \<longleftrightarrow> (Q \<longleftrightarrow> P)\<close>
  by (tactic \<open>IntPr.fast_tac \<^context> 1\<close>)

lemma \<open>((P \<longrightarrow> (Q \<or> (Q \<longrightarrow> R))) \<longrightarrow> R) \<longrightarrow> R\<close>
  by (tactic \<open>IntPr.fast_tac \<^context> 1\<close>)

lemma
  \<open>(((G \<longrightarrow> A) \<longrightarrow> J) \<longrightarrow> D \<longrightarrow> E) \<longrightarrow> (((H \<longrightarrow> B) \<longrightarrow> I) \<longrightarrow> C \<longrightarrow> J)
    \<longrightarrow> (A \<longrightarrow> H) \<longrightarrow> F \<longrightarrow> G \<longrightarrow> (((C \<longrightarrow> B) \<longrightarrow> I) \<longrightarrow> D) \<longrightarrow> (A \<longrightarrow> C)
    \<longrightarrow> (((F \<longrightarrow> A) \<longrightarrow> B) \<longrightarrow> I) \<longrightarrow> E\<close>
  by (tactic \<open>IntPr.fast_tac \<^context> 1\<close>)


subsection \<open>Lemmas for the propositional double-negation translation\<close>

lemma \<open>P \<longrightarrow> \<not> \<not> P\<close>
  by (tactic \<open>IntPr.fast_tac \<^context> 1\<close>)

lemma \<open>\<not> \<not> (\<not> \<not> P \<longrightarrow> P)\<close>
  by (tactic \<open>IntPr.fast_tac \<^context> 1\<close>)

lemma \<open>\<not> \<not> P \<and> \<not> \<not> (P \<longrightarrow> Q) \<longrightarrow> \<not> \<not> Q\<close>
  by (tactic \<open>IntPr.fast_tac \<^context> 1\<close>)


text \<open>The following are classically but not constructively valid.
  The attempt to prove them terminates quickly!\<close>
lemma \<open>((P \<longrightarrow> Q) \<longrightarrow> P) \<longrightarrow> P\<close>
apply (tactic \<open>IntPr.fast_tac \<^context> 1\<close>)?
apply (rule asm_rl) \<comment> \<open>Checks that subgoals remain: proof failed.\<close>
oops

lemma \<open>(P \<and> Q \<longrightarrow> R) \<longrightarrow> (P \<longrightarrow> R) \<or> (Q \<longrightarrow> R)\<close>
apply (tactic \<open>IntPr.fast_tac \<^context> 1\<close>)?
apply (rule asm_rl) \<comment> \<open>Checks that subgoals remain: proof failed.\<close>
oops


subsection \<open>de Bruijn formulae\<close>

text \<open>de Bruijn formula with three predicates\<close>
lemma
  \<open>((P \<longleftrightarrow> Q) \<longrightarrow> P \<and> Q \<and> R) \<and>
    ((Q \<longleftrightarrow> R) \<longrightarrow> P \<and> Q \<and> R) \<and>
    ((R \<longleftrightarrow> P) \<longrightarrow> P \<and> Q \<and> R) \<longrightarrow> P \<and> Q \<and> R\<close>
  by (tactic \<open>IntPr.fast_tac \<^context> 1\<close>)


text \<open>de Bruijn formula with five predicates\<close>
lemma
  \<open>((P \<longleftrightarrow> Q) \<longrightarrow> P \<and> Q \<and> R \<and> S \<and> T) \<and>
    ((Q \<longleftrightarrow> R) \<longrightarrow> P \<and> Q \<and> R \<and> S \<and> T) \<and>
    ((R \<longleftrightarrow> S) \<longrightarrow> P \<and> Q \<and> R \<and> S \<and> T) \<and>
    ((S \<longleftrightarrow> T) \<longrightarrow> P \<and> Q \<and> R \<and> S \<and> T) \<and>
    ((T \<longleftrightarrow> P) \<longrightarrow> P \<and> Q \<and> R \<and> S \<and> T) \<longrightarrow> P \<and> Q \<and> R \<and> S \<and> T\<close>
  by (tactic \<open>IntPr.fast_tac \<^context> 1\<close>)


text \<open>
  Problems from of Sahlin, Franzen and Haridi,
  An Intuitionistic Predicate Logic Theorem Prover.
  J. Logic and Comp. 2 (5), October 1992, 619-656.
\<close>

text\<open>Problem 1.1\<close>
lemma
  \<open>(\<forall>x. \<exists>y. \<forall>z. p(x) \<and> q(y) \<and> r(z)) \<longleftrightarrow>
    (\<forall>z. \<exists>y. \<forall>x. p(x) \<and> q(y) \<and> r(z))\<close>
  by (tactic \<open>IntPr.best_dup_tac \<^context> 1\<close>)  \<comment> \<open>SLOW\<close>

text\<open>Problem 3.1\<close>
lemma \<open>\<not> (\<exists>x. \<forall>y. mem(y,x) \<longleftrightarrow> \<not> mem(x,x))\<close>
  by (tactic \<open>IntPr.fast_tac \<^context> 1\<close>)

text\<open>Problem 4.1: hopeless!\<close>
lemma
  \<open>(\<forall>x. p(x) \<longrightarrow> p(h(x)) \<or> p(g(x))) \<and> (\<exists>x. p(x)) \<and> (\<forall>x. \<not> p(h(x)))
    \<longrightarrow> (\<exists>x. p(g(g(g(g(g(x)))))))\<close>
  oops


subsection \<open>Intuitionistic FOL: propositional problems based on Pelletier.\<close>

text\<open>\<open>\<not>\<not>\<close>1\<close>
lemma \<open>\<not> \<not> ((P \<longrightarrow> Q) \<longleftrightarrow> (\<not> Q \<longrightarrow> \<not> P))\<close>
  by (tactic \<open>IntPr.fast_tac \<^context> 1\<close>)

text\<open>\<open>\<not>\<not>\<close>2\<close>
lemma \<open>\<not> \<not> (\<not> \<not> P \<longleftrightarrow> P)\<close>
  by (tactic \<open>IntPr.fast_tac \<^context> 1\<close>)

text\<open>3\<close>
lemma \<open>\<not> (P \<longrightarrow> Q) \<longrightarrow> (Q \<longrightarrow> P)\<close>
  by (tactic \<open>IntPr.fast_tac \<^context> 1\<close>)

text\<open>\<open>\<not>\<not>\<close>4\<close>
lemma \<open>\<not> \<not> ((\<not> P \<longrightarrow> Q) \<longleftrightarrow> (\<not> Q \<longrightarrow> P))\<close>
  by (tactic \<open>IntPr.fast_tac \<^context> 1\<close>)

text\<open>\<open>\<not>\<not>\<close>5\<close>
lemma \<open>\<not> \<not> ((P \<or> Q \<longrightarrow> P \<or> R) \<longrightarrow> P \<or> (Q \<longrightarrow> R))\<close>
  by (tactic \<open>IntPr.fast_tac \<^context> 1\<close>)

text\<open>\<open>\<not>\<not>\<close>6\<close>
lemma \<open>\<not> \<not> (P \<or> \<not> P)\<close>
  by (tactic \<open>IntPr.fast_tac \<^context> 1\<close>)

text\<open>\<open>\<not>\<not>\<close>7\<close>
lemma \<open>\<not> \<not> (P \<or> \<not> \<not> \<not> P)\<close>
  by (tactic \<open>IntPr.fast_tac \<^context> 1\<close>)

text\<open>\<open>\<not>\<not>\<close>8. Peirce's law\<close>
lemma \<open>\<not> \<not> (((P \<longrightarrow> Q) \<longrightarrow> P) \<longrightarrow> P)\<close>
  by (tactic \<open>IntPr.fast_tac \<^context> 1\<close>)

text\<open>9\<close>
lemma \<open>((P \<or> Q) \<and> (\<not> P \<or> Q) \<and> (P \<or> \<not> Q)) \<longrightarrow> \<not> (\<not> P \<or> \<not> Q)\<close>
  by (tactic \<open>IntPr.fast_tac \<^context> 1\<close>)

text\<open>10\<close>
lemma \<open>(Q \<longrightarrow> R) \<longrightarrow> (R \<longrightarrow> P \<and> Q) \<longrightarrow> (P \<longrightarrow> (Q \<or> R)) \<longrightarrow> (P \<longleftrightarrow> Q)\<close>
  by (tactic \<open>IntPr.fast_tac \<^context> 1\<close>)


subsection\<open>11. Proved in each direction (incorrectly, says Pelletier!!)\<close>

lemma \<open>P \<longleftrightarrow> P\<close>
  by (tactic \<open>IntPr.fast_tac \<^context> 1\<close>)

text\<open>\<open>\<not>\<not>\<close>12. Dijkstra's law\<close>
lemma \<open>\<not> \<not> (((P \<longleftrightarrow> Q) \<longleftrightarrow> R) \<longleftrightarrow> (P \<longleftrightarrow> (Q \<longleftrightarrow> R)))\<close>
  by (tactic \<open>IntPr.fast_tac \<^context> 1\<close>)

lemma \<open>((P \<longleftrightarrow> Q) \<longleftrightarrow> R) \<longrightarrow> \<not> \<not> (P \<longleftrightarrow> (Q \<longleftrightarrow> R))\<close>
  by (tactic \<open>IntPr.fast_tac \<^context> 1\<close>)

text\<open>13. Distributive law\<close>
lemma \<open>P \<or> (Q \<and> R) \<longleftrightarrow> (P \<or> Q) \<and> (P \<or> R)\<close>
  by (tactic \<open>IntPr.fast_tac \<^context> 1\<close>)

text\<open>\<open>\<not>\<not>\<close>14\<close>
lemma \<open>\<not> \<not> ((P \<longleftrightarrow> Q) \<longleftrightarrow> ((Q \<or> \<not> P) \<and> (\<not> Q \<or> P)))\<close>
  by (tactic \<open>IntPr.fast_tac \<^context> 1\<close>)

text\<open>\<open>\<not>\<not>\<close>15\<close>
lemma \<open>\<not> \<not> ((P \<longrightarrow> Q) \<longleftrightarrow> (\<not> P \<or> Q))\<close>
  by (tactic \<open>IntPr.fast_tac \<^context> 1\<close>)

text\<open>\<open>\<not>\<not>\<close>16\<close>
lemma \<open>\<not> \<not> ((P \<longrightarrow> Q) \<or> (Q \<longrightarrow> P))\<close>
  by (tactic \<open>IntPr.fast_tac \<^context> 1\<close>)

text\<open>\<open>\<not>\<not>\<close>17\<close>
lemma \<open>\<not> \<not> (((P \<and> (Q \<longrightarrow> R)) \<longrightarrow> S) \<longleftrightarrow> ((\<not> P \<or> Q \<or> S) \<and> (\<not> P \<or> \<not> R \<or> S)))\<close>
  by (tactic \<open>IntPr.fast_tac \<^context> 1\<close>)

text \<open>Dijkstra's ``Golden Rule''\<close>
lemma \<open>(P \<and> Q) \<longleftrightarrow> P \<longleftrightarrow> Q \<longleftrightarrow> (P \<or> Q)\<close>
  by (tactic \<open>IntPr.fast_tac \<^context> 1\<close>)


section \<open>Examples with quantifiers\<close>

subsection \<open>The converse is classical in the following implications \dots\<close>

lemma \<open>(\<exists>x. P(x) \<longrightarrow> Q) \<longrightarrow> (\<forall>x. P(x)) \<longrightarrow> Q\<close>
  by (tactic \<open>IntPr.fast_tac \<^context> 1\<close>)

lemma \<open>((\<forall>x. P(x)) \<longrightarrow> Q) \<longrightarrow> \<not> (\<forall>x. P(x) \<and> \<not> Q)\<close>
  by (tactic \<open>IntPr.fast_tac \<^context> 1\<close>)

lemma \<open>((\<forall>x. \<not> P(x)) \<longrightarrow> Q) \<longrightarrow> \<not> (\<forall>x. \<not> (P(x) \<or> Q))\<close>
  by (tactic \<open>IntPr.fast_tac \<^context> 1\<close>)

lemma \<open>(\<forall>x. P(x)) \<or> Q \<longrightarrow> (\<forall>x. P(x) \<or> Q)\<close>
  by (tactic \<open>IntPr.fast_tac \<^context> 1\<close>)

lemma \<open>(\<exists>x. P \<longrightarrow> Q(x)) \<longrightarrow> (P \<longrightarrow> (\<exists>x. Q(x)))\<close>
  by (tactic \<open>IntPr.fast_tac \<^context> 1\<close>)


subsection \<open>The following are not constructively valid!\<close>
text \<open>The attempt to prove them terminates quickly!\<close>

lemma \<open>((\<forall>x. P(x)) \<longrightarrow> Q) \<longrightarrow> (\<exists>x. P(x) \<longrightarrow> Q)\<close>
  apply (tactic \<open>IntPr.fast_tac \<^context> 1\<close>)?
  apply (rule asm_rl) \<comment> \<open>Checks that subgoals remain: proof failed.\<close>
  oops

lemma \<open>(P \<longrightarrow> (\<exists>x. Q(x))) \<longrightarrow> (\<exists>x. P \<longrightarrow> Q(x))\<close>
  apply (tactic \<open>IntPr.fast_tac \<^context> 1\<close>)?
  apply (rule asm_rl) \<comment> \<open>Checks that subgoals remain: proof failed.\<close>
  oops

lemma \<open>(\<forall>x. P(x) \<or> Q) \<longrightarrow> ((\<forall>x. P(x)) \<or> Q)\<close>
  apply (tactic \<open>IntPr.fast_tac \<^context> 1\<close>)?
  apply (rule asm_rl) \<comment> \<open>Checks that subgoals remain: proof failed.\<close>
  oops

lemma \<open>(\<forall>x. \<not> \<not> P(x)) \<longrightarrow> \<not> \<not> (\<forall>x. P(x))\<close>
  apply (tactic \<open>IntPr.fast_tac \<^context> 1\<close>)?
  apply (rule asm_rl) \<comment> \<open>Checks that subgoals remain: proof failed.\<close>
  oops

text \<open>Classically but not intuitionistically valid.  Proved by a bug in 1986!\<close>
lemma \<open>\<exists>x. Q(x) \<longrightarrow> (\<forall>x. Q(x))\<close>
  apply (tactic \<open>IntPr.fast_tac \<^context> 1\<close>)?
  apply (rule asm_rl) \<comment> \<open>Checks that subgoals remain: proof failed.\<close>
  oops


subsection \<open>Hard examples with quantifiers\<close>

text \<open>
  The ones that have not been proved are not known to be valid! Some will
  require quantifier duplication -- not currently available.
\<close>

text\<open>\<open>\<not>\<not>\<close>18\<close>
lemma \<open>\<not> \<not> (\<exists>y. \<forall>x. P(y) \<longrightarrow> P(x))\<close>
  oops  \<comment> \<open>NOT PROVED\<close>

text\<open>\<open>\<not>\<not>\<close>19\<close>
lemma \<open>\<not> \<not> (\<exists>x. \<forall>y z. (P(y) \<longrightarrow> Q(z)) \<longrightarrow> (P(x) \<longrightarrow> Q(x)))\<close>
  oops  \<comment> \<open>NOT PROVED\<close>

text\<open>20\<close>
lemma
  \<open>(\<forall>x y. \<exists>z. \<forall>w. (P(x) \<and> Q(y) \<longrightarrow> R(z) \<and> S(w)))
    \<longrightarrow> (\<exists>x y. P(x) \<and> Q(y)) \<longrightarrow> (\<exists>z. R(z))\<close>
  by (tactic \<open>IntPr.fast_tac \<^context> 1\<close>)

text\<open>21\<close>
lemma \<open>(\<exists>x. P \<longrightarrow> Q(x)) \<and> (\<exists>x. Q(x) \<longrightarrow> P) \<longrightarrow> \<not> \<not> (\<exists>x. P \<longleftrightarrow> Q(x))\<close>
  oops \<comment> \<open>NOT PROVED; needs quantifier duplication\<close>

text\<open>22\<close>
lemma \<open>(\<forall>x. P \<longleftrightarrow> Q(x)) \<longrightarrow> (P \<longleftrightarrow> (\<forall>x. Q(x)))\<close>
  by (tactic \<open>IntPr.fast_tac \<^context> 1\<close>)

text\<open>\<open>\<not>\<not>\<close>23\<close>
lemma \<open>\<not> \<not> ((\<forall>x. P \<or> Q(x)) \<longleftrightarrow> (P \<or> (\<forall>x. Q(x))))\<close>
  by (tactic \<open>IntPr.fast_tac \<^context> 1\<close>)

text\<open>24\<close>
lemma
  \<open>\<not> (\<exists>x. S(x) \<and> Q(x)) \<and> (\<forall>x. P(x) \<longrightarrow> Q(x) \<or> R(x)) \<and>
    (\<not> (\<exists>x. P(x)) \<longrightarrow> (\<exists>x. Q(x))) \<and> (\<forall>x. Q(x) \<or> R(x) \<longrightarrow> S(x))
    \<longrightarrow> \<not> \<not> (\<exists>x. P(x) \<and> R(x))\<close>
text \<open>
  Not clear why \<open>fast_tac\<close>, \<open>best_tac\<close>, \<open>ASTAR\<close> and
  \<open>ITER_DEEPEN\<close> all take forever.
\<close>
  apply (tactic \<open>IntPr.safe_tac \<^context>\<close>)
  apply (erule impE)
  apply (tactic \<open>IntPr.fast_tac \<^context> 1\<close>)
  apply (tactic \<open>IntPr.fast_tac \<^context> 1\<close>)
  done

text\<open>25\<close>
lemma
  \<open>(\<exists>x. P(x)) \<and>
      (\<forall>x. L(x) \<longrightarrow> \<not> (M(x) \<and> R(x))) \<and>
      (\<forall>x. P(x) \<longrightarrow> (M(x) \<and> L(x))) \<and>
      ((\<forall>x. P(x) \<longrightarrow> Q(x)) \<or> (\<exists>x. P(x) \<and> R(x)))
    \<longrightarrow> (\<exists>x. Q(x) \<and> P(x))\<close>
  by (tactic \<open>IntPr.fast_tac \<^context> 1\<close>)

text\<open>\<open>\<not>\<not>\<close>26\<close>
lemma
  \<open>(\<not> \<not> (\<exists>x. p(x)) \<longleftrightarrow> \<not> \<not> (\<exists>x. q(x))) \<and>
    (\<forall>x. \<forall>y. p(x) \<and> q(y) \<longrightarrow> (r(x) \<longleftrightarrow> s(y)))
  \<longrightarrow> ((\<forall>x. p(x) \<longrightarrow> r(x)) \<longleftrightarrow> (\<forall>x. q(x) \<longrightarrow> s(x)))\<close>
  oops  \<comment> \<open>NOT PROVED\<close>

text\<open>27\<close>
lemma
  \<open>(\<exists>x. P(x) \<and> \<not> Q(x)) \<and>
    (\<forall>x. P(x) \<longrightarrow> R(x)) \<and>
    (\<forall>x. M(x) \<and> L(x) \<longrightarrow> P(x)) \<and>
    ((\<exists>x. R(x) \<and> \<not> Q(x)) \<longrightarrow> (\<forall>x. L(x) \<longrightarrow> \<not> R(x)))
  \<longrightarrow> (\<forall>x. M(x) \<longrightarrow> \<not> L(x))\<close>
  by (tactic \<open>IntPr.fast_tac \<^context> 1\<close>)

text\<open>\<open>\<not>\<not>\<close>28. AMENDED\<close>
lemma
  \<open>(\<forall>x. P(x) \<longrightarrow> (\<forall>x. Q(x))) \<and>
      (\<not> \<not> (\<forall>x. Q(x) \<or> R(x)) \<longrightarrow> (\<exists>x. Q(x) \<and> S(x))) \<and>
      (\<not> \<not> (\<exists>x. S(x)) \<longrightarrow> (\<forall>x. L(x) \<longrightarrow> M(x)))
    \<longrightarrow> (\<forall>x. P(x) \<and> L(x) \<longrightarrow> M(x))\<close>
  by (tactic \<open>IntPr.fast_tac \<^context> 1\<close>)

text\<open>29. Essentially the same as Principia Mathematica *11.71\<close>
lemma
  \<open>(\<exists>x. P(x)) \<and> (\<exists>y. Q(y))
    \<longrightarrow> ((\<forall>x. P(x) \<longrightarrow> R(x)) \<and> (\<forall>y. Q(y) \<longrightarrow> S(y)) \<longleftrightarrow>
      (\<forall>x y. P(x) \<and> Q(y) \<longrightarrow> R(x) \<and> S(y)))\<close>
  by (tactic \<open>IntPr.fast_tac \<^context> 1\<close>)

text\<open>\<open>\<not>\<not>\<close>30\<close>
lemma
  \<open>(\<forall>x. (P(x) \<or> Q(x)) \<longrightarrow> \<not> R(x)) \<and>
      (\<forall>x. (Q(x) \<longrightarrow> \<not> S(x)) \<longrightarrow> P(x) \<and> R(x))
    \<longrightarrow> (\<forall>x. \<not> \<not> S(x))\<close>
  by (tactic \<open>IntPr.fast_tac \<^context> 1\<close>)

text\<open>31\<close>
lemma
  \<open>\<not> (\<exists>x. P(x) \<and> (Q(x) \<or> R(x))) \<and>
      (\<exists>x. L(x) \<and> P(x)) \<and>
      (\<forall>x. \<not> R(x) \<longrightarrow> M(x))
  \<longrightarrow> (\<exists>x. L(x) \<and> M(x))\<close>
  by (tactic \<open>IntPr.fast_tac \<^context> 1\<close>)

text\<open>32\<close>
lemma
  \<open>(\<forall>x. P(x) \<and> (Q(x) \<or> R(x)) \<longrightarrow> S(x)) \<and>
    (\<forall>x. S(x) \<and> R(x) \<longrightarrow> L(x)) \<and>
    (\<forall>x. M(x) \<longrightarrow> R(x))
  \<longrightarrow> (\<forall>x. P(x) \<and> M(x) \<longrightarrow> L(x))\<close>
  by (tactic \<open>IntPr.fast_tac \<^context> 1\<close>)

text\<open>\<open>\<not>\<not>\<close>33\<close>
lemma
  \<open>(\<forall>x. \<not> \<not> (P(a) \<and> (P(x) \<longrightarrow> P(b)) \<longrightarrow> P(c))) \<longleftrightarrow>
    (\<forall>x. \<not> \<not> ((\<not> P(a) \<or> P(x) \<or> P(c)) \<and> (\<not> P(a) \<or> \<not> P(b) \<or> P(c))))\<close>
  apply (tactic \<open>IntPr.best_tac \<^context> 1\<close>)
  done


text\<open>36\<close>
lemma
  \<open>(\<forall>x. \<exists>y. J(x,y)) \<and>
    (\<forall>x. \<exists>y. G(x,y)) \<and>
    (\<forall>x y. J(x,y) \<or> G(x,y) \<longrightarrow> (\<forall>z. J(y,z) \<or> G(y,z) \<longrightarrow> H(x,z)))
  \<longrightarrow> (\<forall>x. \<exists>y. H(x,y))\<close>
  by (tactic \<open>IntPr.fast_tac \<^context> 1\<close>)

text\<open>37\<close>
lemma
  \<open>(\<forall>z. \<exists>w. \<forall>x. \<exists>y.
      \<not> \<not> (P(x,z) \<longrightarrow> P(y,w)) \<and> P(y,z) \<and> (P(y,w) \<longrightarrow> (\<exists>u. Q(u,w)))) \<and>
        (\<forall>x z. \<not> P(x,z) \<longrightarrow> (\<exists>y. Q(y,z))) \<and>
        (\<not> \<not> (\<exists>x y. Q(x,y)) \<longrightarrow> (\<forall>x. R(x,x)))
    \<longrightarrow> \<not> \<not> (\<forall>x. \<exists>y. R(x,y))\<close>
  oops  \<comment> \<open>NOT PROVED\<close>

text\<open>39\<close>
lemma \<open>\<not> (\<exists>x. \<forall>y. F(y,x) \<longleftrightarrow> \<not> F(y,y))\<close>
  by (tactic \<open>IntPr.fast_tac \<^context> 1\<close>)

text\<open>40. AMENDED\<close>
lemma
  \<open>(\<exists>y. \<forall>x. F(x,y) \<longleftrightarrow> F(x,x)) \<longrightarrow>
    \<not> (\<forall>x. \<exists>y. \<forall>z. F(z,y) \<longleftrightarrow> \<not> F(z,x))\<close>
  by (tactic \<open>IntPr.fast_tac \<^context> 1\<close>)

text\<open>44\<close>
lemma
  \<open>(\<forall>x. f(x) \<longrightarrow>
    (\<exists>y. g(y) \<and> h(x,y) \<and> (\<exists>y. g(y) \<and> \<not> h(x,y)))) \<and>
    (\<exists>x. j(x) \<and> (\<forall>y. g(y) \<longrightarrow> h(x,y)))
    \<longrightarrow> (\<exists>x. j(x) \<and> \<not> f(x))\<close>
  by (tactic \<open>IntPr.fast_tac \<^context> 1\<close>)

text\<open>48\<close>
lemma \<open>(a = b \<or> c = d) \<and> (a = c \<or> b = d) \<longrightarrow> a = d \<or> b = c\<close>
  by (tactic \<open>IntPr.fast_tac \<^context> 1\<close>)

text\<open>51\<close>
lemma
  \<open>(\<exists>z w. \<forall>x y. P(x,y) \<longleftrightarrow> (x = z \<and> y = w)) \<longrightarrow>
    (\<exists>z. \<forall>x. \<exists>w. (\<forall>y. P(x,y) \<longleftrightarrow> y = w) \<longleftrightarrow> x = z)\<close>
  by (tactic \<open>IntPr.fast_tac \<^context> 1\<close>)

text\<open>52\<close>
text \<open>Almost the same as 51.\<close>
lemma
  \<open>(\<exists>z w. \<forall>x y. P(x,y) \<longleftrightarrow> (x = z \<and> y = w)) \<longrightarrow>
    (\<exists>w. \<forall>y. \<exists>z. (\<forall>x. P(x,y) \<longleftrightarrow> x = z) \<longleftrightarrow> y = w)\<close>
  by (tactic \<open>IntPr.fast_tac \<^context> 1\<close>)

text\<open>56\<close>
lemma \<open>(\<forall>x. (\<exists>y. P(y) \<and> x = f(y)) \<longrightarrow> P(x)) \<longleftrightarrow> (\<forall>x. P(x) \<longrightarrow> P(f(x)))\<close>
  by (tactic \<open>IntPr.fast_tac \<^context> 1\<close>)

text\<open>57\<close>
lemma
  \<open>P(f(a,b), f(b,c)) \<and> P(f(b,c), f(a,c)) \<and>
    (\<forall>x y z. P(x,y) \<and> P(y,z) \<longrightarrow> P(x,z)) \<longrightarrow> P(f(a,b), f(a,c))\<close>
  by (tactic \<open>IntPr.fast_tac \<^context> 1\<close>)

text\<open>60\<close>
lemma \<open>\<forall>x. P(x,f(x)) \<longleftrightarrow> (\<exists>y. (\<forall>z. P(z,y) \<longrightarrow> P(z,f(x))) \<and> P(x,y))\<close>
  by (tactic \<open>IntPr.fast_tac \<^context> 1\<close>)

end

¤ Dauer der Verarbeitung: 0.4 Sekunden  (vorverarbeitet)  ¤





Download des
Quellennavigators
Download des
sprechenden Kalenders

in der Quellcodebibliothek suchen




Haftungshinweis

Die Informationen auf dieser Webseite wurden nach bestem Wissen sorgfältig zusammengestellt. Es wird jedoch weder Vollständigkeit, noch Richtigkeit, noch Qualität der bereit gestellten Informationen zugesichert.


Bemerkung:

Die farbliche Syntaxdarstellung ist noch experimentell.


Bot Zugriff



                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     


Neuigkeiten

     Aktuelles
     Motto des Tages

Software

     Produkte
     Quellcodebibliothek

Aktivitäten

     Artikel über Sicherheit
     Anleitung zur Aktivierung von SSL

Muße

     Gedichte
     Musik
     Bilder

Jenseits des Üblichen ....
    

Besucherstatistik

Besucherstatistik