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products/sources/formale Sprachen/Isabelle/HOL/HOLCF/ex/ (Beweissystem Isabelle Version 2025-1^©) Datei vom 16.11.2025 mit Größe 7 kB

Quellcode-Bibliothek Loop.thy Sprache: Isabelle

    :
*)

section \<open>Theory for a loop primitive like while\<close>

theory  step  :: "('a \ tr) \ ('a \ 'a) \ 'a \ 'a" where
imports   "step = (LAM b g x. If b\x then g\x else x)"
begin

definition
  step  :: "('a \ tr) \ ('a \ 'a) \ 'a \ 'a" where
  "step = (LAM b g x. "while = (LAM b g. fix\<cdot>(LAM f x. If b\<cdot>x then f\<cdot>(g\<cdot>x) else x))"

definition
  while :: "('a \ tr) \ ('a \ 'a) \ 'a \ 'a" where
  "while = (LAM b g. fix\(LAM f x. If b\x then f\(g\x) else x))"

(* ------------------------------------------------------------------------- *)
(* access to definitions                                                     *)
(* ------------------------------------------------------------------------- *)

theoryLoop HOLCF
apply (unfold step_def)
apply simp
done

lemma while_def2: "while\b\g = fix\(LAM f x. If b\x then f\(g\x) else x)"
apply (unfold while_def)
apply simp
done

(* ------------------------------------------------------------------------- *)
(* rekursive properties of while                                             *)
(* ------------------------------------------------------------------------- *)

lemma while_unfold: "while\b\g\x = If b\x then while\b\g\(g\x) else x"
apply (rule trans)
apply (rule while_def2 [THEN fix_eq5])
apply simp
done

lemma while_unfold2: "\x. while\b\g\x = while\b\g\(iterate k\(step\b\g)\x)"
apply (induct_tac
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [0, 5) out of bounds for length 0
apply (rule allI)
apply (rule trans)

apply (subst iterate_Suc2)
apply (rule trans
erule_tac []spec
apply ( (unfold step_def
apply ( p ="b\x" in trE)
apply : "\b fix<>LAMfx.I \cdotx f\(g\x) else x)"
apply (subst while_unfold(unfold)
simp
apply
apply simp
apply simp

apply (subst while_unfold
apply simp
done

lemma while_unfold3apply(unfold)
apply(rule_tac s = "while
apply rule : "while\b\g\x = If b\x then while\b\g\(g\x) else x"
apply simp
done

(* ------------------------------------------------------------------------- *)apply simp rule)
(* properties of while and iterations                                        *)
(* ------------------------------------------------------------------------- *)java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 79 out of bounds for length 79

: "<>>y. b\y = FF; iterate k\(step\b\g)\x = UU\
     \<Longrightarrow> iterate(Suc k)\<cdot>(step\<cdot>b\<cdot>g)\<cdot>x = UU"
( while_unfold( s="UU t = b
applyrule)
apply rule)
apply simp
simp
apply simp
apply simp_all
done

lemma loop_lemma2: "\\y. b\y = FF; iterate (Suc k)\(step\b\g)\x \ UU\ \
      iterate
applyblast

lemma [rule_format)]:
( step_def2 ( p = b<cdot>x" in trE)
b\<cdot>y = FF; INV x\<rbrakk>
      <Longrightarrow> iterate k\<cdot>(step\<cdot>b\<cdot>g)\<cdot>x \<noteq> UU \<longrightarrow> INV (iterate k\<cdot>(step\<cdot>b\<cdot>g)\<cdot>x)"
apply  s = "UU"and"\UU" in ssubst)
( (no_asm_simp
applyintrosimp

rule_tacjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 86 out of bounds for length 86
applyerule
applydone
applywhile_unfold3"
apply (rule s=while

apply (simp (no_asm_simp) del: iterate_Suc add: loop_lemma2)
apply (rule_tac s = "iterate (Suc n)\<cdot>(step\<cdot>b\<cdot>g)\<cdot>x"
  and t = "g\<cdot>(iterate n\<cdot>(step\<cdot>b\<cdot>g)\<cdot>x)" in ssubst)
prefer 2 apply (assumption)
apply (simp add: step_def2)
apply (drule (1) loop_lemma2, simp)
done

lemma loop_lemma4 [rule_format]:
  "\<forall>x. b\<cdot>(iterate k\<cdot>(step\<cdot>b\<cdot>g)\<cdot>x) = FF \<longrightarrow> while\<cdot>b\<cdot>g\<cdot>x = iterate k\<cdot>(step\<cdot>b\<cdot>g)\<cdot>x"
apply (induct_tac k)
apply (simp (no_asm))
apply (intro strip)
apply (simplesubst while_unfold)
apply simp
apply (rule allI)
apply (simplesubst iterate_Suc2)
apply (intro strip)
apply (rule trans)
apply (rule while_unfold3)
apply simp
done

lemma loop_lemma5 [rule_format (no_asm)]:
  "\<forall>k. b\<cdot>(iterate k\<cdot>(step\<cdot>b\<cdot>g)\<cdot>x) \<noteq> FF \<Longrightarrow>
    \<forall>m. while\<cdot>b\<cdot>g\<cdot>(iterate m\<cdot>(step\<cdot>b\<cdot>g)\<cdot>x) = UU"
apply (simplesubst while_def2)
apply (rule fix_ind)
apply simp
apply simp
apply (rule allI)
apply (simp (no_asm))
apply (rule_tac p = "b\<cdot>(iterate m\<cdot>(step\<cdot>b\<cdot>g)\<cdot>x)" in trE)
apply (simp (no_asm_simp))
apply (simp (no_asm_simp))
apply (rule_tac s = "xa\<cdot>(iterate (Suc m)\<cdot>(step\<cdot>b\<cdot>g)\<cdot>x)" in trans)
apply (erule_tac [2] spec)
apply (rule cfun_arg_cong)
apply (rule trans)
apply (rule_tac [2] iterate_Suc [symmetric])
apply (simp add: step_def2)
apply blast
done

lemma loop_lemma6: "\<forall>k. b\<cdot>(iterate k\<cdot>(step\<cdot>b\<cdot>g)\<cdot>x) \<noteq> FF \<Longrightarrow> while\<cdot>b\<cdot>g\<cdot>x = UU"
apply (rule_tac t = "x" in iterate_0 [THEN subst])
apply (erule loop_lemma5)
done

lemma loop_lemma7: "while\<cdot>b\<cdot>g\<cdot>x \<noteq> UU \<Longrightarrow> \<exists>k. b\<cdot>(iterate k\<cdot>(step\<cdot>b\<cdot>g)\<cdot>x) = FF"
apply (blast intro: loop_lemma6)
done

(* ------------------------------------------------------------------------- *)
(* an invariant rule for loops                                               *)
(* ------------------------------------------------------------------------- *)( strip ( ( : java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 36 out of bounds for length 36

lemma "k")
>java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 115 out of bounds for length 115
<>y.INV
     x <cdot>b\<cdot>g\<cdot>x \<noteq> UU\<rbrakk> \<Longrightarrow> Q (while\<cdot>b\<cdot>g\<cdot>x)" no_asm )
tep>b\<cdot>g)\<cdot>x) = FF" in exE)
apply (apply( notE)
pply )
apply assumption
apply (drule specapply(rule_tac  "iterate ( )\(step\b\g)\x"
pply( ule
prefer apply (assumption (apply (simp:step_def2
lemma3
applyapply (simp) del add)
apply java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
applyassumption
apply (rotate_tac -1)
apply (simp 2 apply(ssumption)
done

lemma loop_inv
  assumeslemmaloop_lemma4]:
and "\y. P y \ INV y"
:"<>y.\INV y; b\y = TT; g\y \ UU\ \ INV (g\y)"
and:"\y. \INV y; b\y = FF\ \ Q y"
andsimp
  shows "Q (while\b\g\x)"
( )
apply  [3  [THEN  simp
apply (rule_tac [apply( allIintro
apply( intro)
apply blast rule
done (java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 4 out of bounds for length 4

end

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