(* Title: HOL/Inequalities.thy
Author: Tobias Nipkow
Author: Johannes Hölzl
*)
theory Inequalities
imports Real_Vector_Spaces
begin
lemma Chebyshev_sum_upper:
fixes a b::"nat \ 'a::linordered_idom"
assumes "\i j. i \ j \ j < n \ a i \ a j"
assumes "\i j. i \ j \ j < n \ b i \ b j"
shows "of_nat n * (\k=0.. (\k=0..k=0..
proof -
let ?S = "(\j=0..k=0..
have "2 * (of_nat n * (\j=0..j=0..k=0..
by (simp only: one_add_one[symmetric] algebra_simps)
(simp add: algebra_simps sum_subtractf sum.distrib sum.swap[of "\i j. a i * b j"] sum_distrib_left)
also
{ fix i j::nat assume "i "j
hence "a i - a j \ 0 \ b i - b j \ 0 \ a i - a j \ 0 \ b i - b j \ 0"
using assms by (cases "i \ j") (auto simp: algebra_simps)
} then have "?S \ 0"
by (auto intro!: sum_nonpos simp: mult_le_0_iff)
finally show ?thesis by (simp add: algebra_simps)
qed
lemma Chebyshev_sum_upper_nat:
fixes a b :: "nat \ nat"
shows "(\i j. \ i\j; j \ a i \ a j) \
(\<And>i j. \<lbrakk> i\<le>j; j<n \<rbrakk> \<Longrightarrow> b i \<ge> b j) \<Longrightarrow>
n * (\<Sum>i=0..<n. a i * b i) \<le> (\<Sum>i=0..<n. a i) * (\<Sum>i=0..<n. b i)"
using Chebyshev_sum_upper[where 'a=real, of n a b]
by (simp del: of_nat_mult of_nat_sum add: of_nat_mult[symmetric] of_nat_sum[symmetric])
end
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(vorverarbeitet)
¤
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