Anforderungen  |   Konzepte  |   Entwurf  |   Entwicklung  |   Qualitätssicherung  |   Lebenszyklus  |   Steuerung
 
 
 
 


Quellcode-Bibliothek

© Kompilation durch diese Firma

[Weder Korrektheit noch Funktionsfähigkeit der Software werden zugesichert.]

Datei: Intuitionistic.thy   Sprache: Isabelle

Original von: Isabelle©

(*  Title:      HOL/ex/Intuitionistic.thy
    Author:     Lawrence C Paulson, Cambridge University Computer Laboratory
    Copyright   1991  University of Cambridge

Taken from FOL/ex/int.ML
*)


section \<open>Higher-Order Logic: Intuitionistic predicate calculus problems\<close>

theory Intuitionistic imports Main begin


(*Metatheorem (for PROPOSITIONAL formulae...):
  P is classically provable iff ~~P is intuitionistically provable.
  Therefore ~P is classically provable iff it is intuitionistically provable.  

Proof: Let Q be the conjuction of the propositions A|~A, one for each atom A
in P.  Now ~~Q is intuitionistically provable because ~~(A|~A) is and because
~~ distributes over &.  If P is provable classically, then clearly Q-->P is
provable intuitionistically, so ~~(Q-->P) is also provable intuitionistically.
The latter is intuitionistically equivalent to ~~Q-->~~P, hence to ~~P, since
~~Q is intuitionistically provable.  Finally, if P is a negation then ~~P is
intuitionstically equivalent to P.  [Andy Pitts] *)


lemma "(~~(P&Q)) = ((~~P) & (~~Q))"
  by iprover

lemma "~~ ((~P --> Q) --> (~P --> ~Q) --> P)"
  by iprover

(* ~~ does NOT distribute over | *)

lemma "(~~(P-->Q)) = (~~P --> ~~Q)"
  by iprover

lemma "(~~~P) = (~P)"
  by iprover

lemma "~~((P --> Q | R) --> (P-->Q) | (P-->R))"
  by iprover

lemma "(P=Q) = (Q=P)"
  by iprover

lemma "((P --> (Q | (Q-->R))) --> R) --> R"
  by iprover

lemma "(((G-->A) --> J) --> D --> E) --> (((H-->B)-->I)-->C-->J)
      --> (A-->H) --> F --> G --> (((C-->B)-->I)-->D)-->(A-->C)
      --> (((F-->A)-->B) --> I) --> E"
  by iprover


(* Lemmas for the propositional double-negation translation *)

lemma "P --> ~~P"
  by iprover

lemma "~~(~~P --> P)"
  by iprover

lemma "~~P & ~~(P --> Q) --> ~~Q"
  by iprover


(* de Bruijn formulae *)

(*de Bruijn formula with three predicates*)
lemma "((P=Q) --> P&Q&R) &
       ((Q=R) --> P&Q&R) &
       ((R=P) --> P&Q&R) --> P&Q&R"
  by iprover

(*de Bruijn formula with five predicates*)
lemma "((P=Q) --> P&Q&R&S&T) &
       ((Q=R) --> P&Q&R&S&T) &
       ((R=S) --> P&Q&R&S&T) &
       ((S=T) --> P&Q&R&S&T) &
       ((T=P) --> P&Q&R&S&T) --> P&Q&R&S&T"
  by iprover


(*** Problems from Sahlin, Franzen and Haridi, 
     An Intuitionistic Predicate Logic Theorem Prover.
     J. Logic and Comp. 2 (5), October 1992, 619-656.
***)


(*Problem 1.1*)
lemma "(\x. \y. \z. p(x) \ q(y) \ r(z)) =
       (\<forall>z. \<exists>y. \<forall>x. p(x) \<and> q(y) \<and> r(z))"
  by (iprover del: allE elim 2: allE')

(*Problem 3.1*)
lemma "\ (\x. \y. p y x = (\ p x x))"
  by iprover


(* Intuitionistic FOL: propositional problems based on Pelletier. *)

(* Problem ~~1 *)
lemma "~~((P-->Q) = (~Q --> ~P))"
  by iprover

(* Problem ~~2 *)
lemma "~~(~~P = P)"
  by iprover

(* Problem 3 *)
lemma "~(P-->Q) --> (Q-->P)"
  by iprover

(* Problem ~~4 *)
lemma "~~((~P-->Q) = (~Q --> P))"
  by iprover

(* Problem ~~5 *)
lemma "~~((P|Q-->P|R) --> P|(Q-->R))"
  by iprover

(* Problem ~~6 *)
lemma "~~(P | ~P)"
  by iprover

(* Problem ~~7 *)
lemma "~~(P | ~~~P)"
  by iprover

(* Problem ~~8.  Peirce's law *)
lemma "~~(((P-->Q) --> P) --> P)"
  by iprover

(* Problem 9 *)
lemma "((P|Q) & (~P|Q) & (P| ~Q)) --> ~ (~P | ~Q)"
  by iprover

(* Problem 10 *)
lemma "(Q-->R) --> (R-->P&Q) --> (P-->(Q|R)) --> (P=Q)"
  by iprover

(* 11.  Proved in each direction (incorrectly, says Pelletier!!) *)
lemma "P=P"
  by iprover

(* Problem ~~12.  Dijkstra's law *)
lemma "~~(((P = Q) = R) = (P = (Q = R)))"
  by iprover

lemma "((P = Q) = R) --> ~~(P = (Q = R))"
  by iprover

(* Problem 13.  Distributive law *)
lemma "(P | (Q & R)) = ((P | Q) & (P | R))"
  by iprover

(* Problem ~~14 *)
lemma "~~((P = Q) = ((Q | ~P) & (~Q|P)))"
  by iprover

(* Problem ~~15 *)
lemma "~~((P --> Q) = (~P | Q))"
  by iprover

(* Problem ~~16 *)
lemma "~~((P-->Q) | (Q-->P))"
by iprover

(* Problem ~~17 *)
lemma "~~(((P & (Q-->R))-->S) = ((~P | Q | S) & (~P | ~R | S)))"
  oops

(*Dijkstra's "Golden Rule"*)
lemma "(P&Q) = (P = (Q = (P|Q)))"
  by iprover


(****Examples with quantifiers****)

(* The converse is classical in the following implications... *)

lemma "(\x. P(x)\Q) \ (\x. P(x)) \ Q"
  by iprover

lemma "((\x. P(x))\Q) \ \ (\x. P(x) \ \Q)"
  by iprover

lemma "((\x. \P(x))\Q) \ \ (\x. \ (P(x)\Q))"
  by iprover

lemma "(\x. P(x)) \ Q \ (\x. P(x) \ Q)"
  by iprover 

lemma "(\x. P \ Q(x)) \ (P \ (\x. Q(x)))"
  by iprover


(* Hard examples with quantifiers *)

(*The ones that have not been proved are not known to be valid!
  Some will require quantifier duplication -- not currently available*)


(* Problem ~~19 *)
lemma "\\(\x. \y z. (P(y)\Q(z)) \ (P(x)\Q(x)))"
  by iprover

(* Problem 20 *)
lemma "(\x y. \z. \w. (P(x)\Q(y)\R(z)\S(w)))
    \<longrightarrow> (\<exists>x y. P(x) \<and> Q(y)) \<longrightarrow> (\<exists>z. R(z))"
  by iprover

(* Problem 21 *)
lemma "(\x. P\Q(x)) \ (\x. Q(x)\P) \ \\(\x. P=Q(x))"
  by iprover

(* Problem 22 *)
lemma "(\x. P = Q(x)) \ (P = (\x. Q(x)))"
  by iprover

(* Problem ~~23 *)
lemma "\\ ((\x. P \ Q(x)) = (P \ (\x. Q(x))))"
  by iprover

(* Problem 25 *)
lemma "(\x. P(x)) \
       (\<forall>x. L(x) \<longrightarrow> \<not> (M(x) \<and> R(x))) \<and>
       (\<forall>x. P(x) \<longrightarrow> (M(x) \<and> L(x))) \<and>
       ((\<forall>x. P(x)\<longrightarrow>Q(x)) \<or> (\<exists>x. P(x)\<and>R(x)))
   \<longrightarrow> (\<exists>x. Q(x)\<and>P(x))"
  by iprover

(* Problem 27 *)
lemma "(\x. P(x) \ \Q(x)) \
             (\<forall>x. P(x) \<longrightarrow> R(x)) \<and>
             (\<forall>x. M(x) \<and> L(x) \<longrightarrow> P(x)) \<and>
             ((\<exists>x. R(x) \<and> \<not> Q(x)) \<longrightarrow> (\<forall>x. L(x) \<longrightarrow> \<not> R(x)))
         \<longrightarrow> (\<forall>x. M(x) \<longrightarrow> \<not>L(x))"
  by iprover

(* Problem ~~28.  AMENDED *)
lemma "(\x. P(x) \ (\x. Q(x))) \
       (\<not>\<not>(\<forall>x. Q(x)\<or>R(x)) \<longrightarrow> (\<exists>x. Q(x)&S(x))) \<and>
       (\<not>\<not>(\<exists>x. S(x)) \<longrightarrow> (\<forall>x. L(x) \<longrightarrow> M(x)))
   \<longrightarrow> (\<forall>x. P(x) \<and> L(x) \<longrightarrow> M(x))"
  by iprover

(* Problem 29.  Essentially the same as Principia Mathematica *11.71 *)
lemma "(((\x. P(x)) \ (\y. Q(y))) \
   (((\<forall>x. (P(x) \<longrightarrow> R(x))) \<and> (\<forall>y. (Q(y) \<longrightarrow> S(y)))) =
    (\<forall>x y. ((P(x) \<and> Q(y)) \<longrightarrow> (R(x) \<and> S(y))))))"
  by iprover

(* Problem ~~30 *)
lemma "(\x. (P(x) \ Q(x)) \ \ R(x)) \
       (\<forall>x. (Q(x) \<longrightarrow> \<not> S(x)) \<longrightarrow> P(x) \<and> R(x))
   \<longrightarrow> (\<forall>x. \<not>\<not>S(x))"
  by iprover

(* Problem 31 *)
lemma "\(\x. P(x) \ (Q(x) \ R(x))) \
        (\<exists>x. L(x) \<and> P(x)) \<and>
        (\<forall>x. \<not> R(x) \<longrightarrow> M(x))
    \<longrightarrow> (\<exists>x. L(x) \<and> M(x))"
  by iprover

(* Problem 32 *)
lemma "(\x. P(x) \ (Q(x)|R(x))\S(x)) \
       (\<forall>x. S(x) \<and> R(x) \<longrightarrow> L(x)) \<and>
       (\<forall>x. M(x) \<longrightarrow> R(x))
   \<longrightarrow> (\<forall>x. P(x) \<and> M(x) \<longrightarrow> L(x))"
  by iprover

(* Problem ~~33 *)
lemma "(\x. \\(P(a) \ (P(x)\P(b))\P(c))) =
       (\<forall>x. \<not>\<not>((\<not>P(a) \<or> P(x) \<or> P(c)) \<and> (\<not>P(a) \<or> \<not>P(b) \<or> P(c))))"
  oops

(* Problem 36 *)
lemma
     "(\x. \y. J x y) \
      (\<forall>x. \<exists>y. G x y) \<and>
      (\<forall>x y. J x y \<or> G x y \<longrightarrow> (\<forall>z. J y z \<or> G y z \<longrightarrow> H x z))
  \<longrightarrow> (\<forall>x. \<exists>y. H x y)"
  by iprover

(* Problem 39 *)
lemma "\ (\x. \y. F y x = (\F y y))"
  by iprover

(* Problem 40.  AMENDED *)
lemma "(\y. \x. F x y = F x x) \
             \<not>(\<forall>x. \<exists>y. \<forall>z. F z y = (\<not> F z x))"
  by iprover

(* Problem 44 *)
lemma "(\x. f(x) \
             (\<exists>y. g(y) \<and> h x y \<and> (\<exists>y. g(y) \<and> ~ h x y)))  \<and>
             (\<exists>x. j(x) \<and> (\<forall>y. g(y) \<longrightarrow> h x y))
             \<longrightarrow> (\<exists>x. j(x) \<and> \<not>f(x))"
  by iprover

(* Problem 48 *)
lemma "(a=b \ c=d) \ (a=c \ b=d) \ a=d \ b=c"
  by iprover

(* Problem 51 *)
lemma "((\z w. (\x y. (P x y = ((x = z) \ (y = w))))) \
  (\<exists>z. (\<forall>x. (\<exists>w. ((\<forall>y. (P x y = (y = w))) = (x = z))))))"
  by iprover

(* Problem 52 *)
(*Almost the same as 51. *)
lemma "((\z w. (\x y. (P x y = ((x = z) \ (y = w))))) \
   (\<exists>w. (\<forall>y. (\<exists>z. ((\<forall>x. (P x y = (x = z))) = (y = w))))))"
  by iprover

(* Problem 56 *)
lemma "(\x. (\y. P(y) \ x=f(y)) \ P(x)) = (\x. P(x) \ P(f(x)))"
  by iprover

(* Problem 57 *)
lemma "P (f a b) (f b c) & P (f b c) (f a c) \
     (\<forall>x y z. P x y \<and> P y z \<longrightarrow> P x z) \<longrightarrow> P (f a b) (f a c)"
  by iprover

(* Problem 60 *)
lemma "\x. P x (f x) = (\y. (\z. P z y \ P z (f x)) \ P x y)"
  by iprover

end

¤ Dauer der Verarbeitung: 0.2 Sekunden  (vorverarbeitet)  ¤





Download des
Quellennavigators
Download des
sprechenden Kalenders

in der Quellcodebibliothek suchen




Haftungshinweis

Die Informationen auf dieser Webseite wurden nach bestem Wissen sorgfältig zusammengestellt. Es wird jedoch weder Vollständigkeit, noch Richtigkeit, noch Qualität der bereit gestellten Informationen zugesichert.


Bemerkung:

Die farbliche Syntaxdarstellung ist noch experimentell.


Bot Zugriff



                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     


Neuigkeiten

     Aktuelles
     Motto des Tages

Software

     Produkte
     Quellcodebibliothek

Aktivitäten

     Artikel über Sicherheit
     Anleitung zur Aktivierung von SSL

Muße

     Gedichte
     Musik
     Bilder

Jenseits des Üblichen ....
    

Besucherstatistik

Besucherstatistik