Anforderungen  |   Konzepte  |   Entwurf  |   Entwicklung  |   Qualitätssicherung  |   Lebenszyklus  |   Steuerung
 
 
 
 


Quellcode-Bibliothek

© Kompilation durch diese Firma

[Weder Korrektheit noch Funktionsfähigkeit der Software werden zugesichert.]

Datei: infinity_arithmetic.pvs   Sprache: Isabelle

Original von: PVS©

lim_of_functions [ T : TYPE FROM real ] : THEORY
%----------------------------------------------------------------------------
%  Limit of a functions [T -> real] at a point a   %
%
%  Author:  Bruno Dutertre    Royal Holloway & Bedford New College
%----------------------------------------------------------------------------
BEGIN

  IMPORTING convergence_functions

  %------------------------------------------------
  %  Subtype of reals where the limit makes sense
  %------------------------------------------------

  a, b, l, l1, l2 : VAR real
  c : VAR (adh[T](fullset[real]))
  f, f1, f2 : VAR [ T -> real]
  g : VAR [T -> nzreal]
  epsilon, delta : VAR posreal
  x : VAR T

  %---------------------------------------------------
  %  Convergence of f at a point a towards a limit l
  %---------------------------------------------------

  convergence(f, a, l) : bool = convergence(f, fullset[real], a, l)

  convergence_def : LEMMA
        FORALL f, a, l :
            convergence(f, a, l)
        IFF
            adh[T](fullset[real])(a)
        AND FORALL epsilon : EXISTS delta :
                FORALL x : abs(x - a) < delta IMPLIES abs(f(x) - l) < epsilon


  adherence_fullset : LEMMA adh[T](fullset[real])(x)

  cv_unique    : LEMMA convergence(f, a, l1) AND convergence(f, a, l2)
                      IMPLIES l1 = l2

  cv_in_domain : LEMMA convergence(f, x, l) IMPLIES l = f(x)

  %-------------------------------------------
  %  convergence and operations on functions
  %-------------------------------------------

  cv_sum   : LEMMA convergence(f1, a, l1) AND convergence(f2, a, l2)
                     IMPLIES convergence(f1 + f2, a, l1 + l2)

  cv_diff  : LEMMA convergence(f1, a, l1) AND convergence(f2, a, l2)
                     IMPLIES convergence(f1 - f2, a, l1 - l2)

  cv_prod  : LEMMA convergence(f1, a, l1) AND convergence(f2, a, l2)
                     IMPLIES convergence(f1 * f2, a, l1 * l2)

  cv_const : LEMMA convergence(const_fun(b), c, b)

  cv_scal  : LEMMA convergence(f, a, l)
                     IMPLIES convergence(b * f, a, b * l)

  cv_neg   : LEMMA convergence(f, a, l)
                     IMPLIES convergence(- f, a, - l)

  cv_div   : LEMMA convergence(f, a, l1) AND convergence(g, a, l2) AND l2 /= 0
                     IMPLIES convergence(f / g, a, l1 / l2)

  cv_inv   : LEMMA convergence(g, a, l) AND l /= 0
                     IMPLIES convergence(1 / g, a, 1 / l)

  cv_identity: LEMMA convergence(I[T], c, c)
        
  cv_abs   : LEMMA convergence(abs, c, abs(c))
        
  conv_0_0_abs: LEMMA convergence(f, 0, 0) IFF convergence(abs(f), 0, 0)


  %-------------------------
  %  f is convergent at a    
  %-------------------------

  convergent?(f, a) : bool = EXISTS l : convergence(f, a, l)

%  lim(f, (x0 : {a | convergent?(f, a)})) : real =  
%        choose(LAMBDA l : convergence(f, x0, l))


  lim(f, (x0 : {a | convergent?(f, a)})) : {l: real |  convergence(f, x0, l)}

  lim_fun_lemma   : LEMMA FORALL f, (x0 : {a | convergent?(f, a)}) :
                          convergence(f, x0, lim(f, x0))

  lim_fun_def     : LEMMA FORALL f, l, (x0 : {a | convergent?(f, a)}) :
                             lim(f, x0) = l IFF convergence(f, x0, l)

  lim_e_del: LEMMA convergent?(f, a) IMPLIES
    (lim(f, a) = l IFF FORALL (e: posreal): EXISTS (del: posreal): FORALL (x: T):
                           abs(x-a) < del IMPLIES abs(f(x) - l) < e)

  convergence_equiv    : LEMMA convergence(f, a, l) IFF 
                                  convergent?(f, a) AND lim(f, a) = l
        
  convergent_in_domain : LEMMA convergent?(f, x) IFF convergence(f, x, f(x))
        
  lim_in_domain        : LEMMA convergent?(f, x) IMPLIES lim(f, x) = f(x)
        

  %------------------------------------------
  %  Operations preserving convergence at a 
  %------------------------------------------

  sum_fun_convergent  : LEMMA convergent?(f1, a) AND convergent?(f2, a)
                                IMPLIES convergent?(f1 + f2, a)

  neg_fun_convergent : LEMMA convergent?(f, a) IMPLIES convergent?(- f, a)
        
  diff_fun_convergent : LEMMA convergent?(f1, a) AND convergent?(f2, a)
                                IMPLIES convergent?(f1 - f2, a)

  prod_fun_convergent : LEMMA convergent?(f1, a) AND convergent?(f2, a)
                                IMPLIES convergent?(f1 * f2, a)

  const_fun_convergent: LEMMA convergent?(const_fun(b), c)
        
  scal_fun_convergent : LEMMA convergent?(f, a) IMPLIES convergent?(b * f, a)
        
  inv_fun_convergent  : LEMMA convergent?(g, a) AND lim(g, a) /= 0
                                 IMPLIES convergent?(1/g, a)

  div_fun_convergent  : LEMMA convergent?(f, a) AND convergent?(g, a)
                                AND lim(g, a) /= 0 IMPLIES convergent?(f / g, a)

  convergent_identity : LEMMA convergent?(I[T], c)


  %----------------------------
  %  Same things with lim(a)
  %----------------------------

  lim_sum_fun      : LEMMA convergent?(f1, a) AND convergent?(f2, a)
                             IMPLIES lim(f1 + f2, a) = lim(f1, a) + lim(f2, a)

  lim_neg_fun : LEMMA convergent?(f, a) 
                             IMPLIES lim(- f, a) = - lim(f, a)
        
  lim_diff_fun     : LEMMA convergent?(f1, a) AND convergent?(f2, a)
                             IMPLIES lim(f1 - f2, a) = lim(f1, a) - lim(f2, a)

  lim_prod_fun     : LEMMA convergent?(f1, a) AND convergent?(f2, a)
                             IMPLIES lim(f1 * f2, a) = lim(f1, a) * lim(f2, a)

  lim_const_fun    : LEMMA lim(const_fun(b), c) = b

  lim_scal_fun     : LEMMA convergent?(f, a) 
                             IMPLIES lim(b * f, a) = b * lim(f, a)
        
  lim_inv_fun      : LEMMA convergent?(g, a) AND lim(g, a) /= 0
                             IMPLIES lim(1/g, a) = 1/lim(g, a)

  lim_div_fun  : LEMMA convergent?(f, a) AND convergent?(g, a) AND lim(g, a) /= 0
                             IMPLIES lim(f / g, a) = lim(f, a)/lim(g, a)

  lim_identity : LEMMA lim(I[T], c) = c
  



  %--------------------
  %  Bounds on limits
  %--------------------

  E : VAR setof[real]

  lim_le1 : LEMMA
        convergent?(f, a) AND (FORALL x : f(x) <= b) IMPLIES lim(f, a) <= b

  lim_ge1 : LEMMA
        convergent?(f, a) AND (FORALL x : f(x) >= b) IMPLIES lim(f, a) >= b
  
  lim_order1 : LEMMA convergent?(f1, a) AND convergent?(f2, a)
                     AND (FORALL x : f1(x) <= f2(x)) 
                         IMPLIES lim(f1, a) <= lim(f2, a)

  lim_le2    : LEMMA convergent?(f, a) AND adh[T](E)(a) AND 
                     (FORALL x : E(x) IMPLIES f(x) <= b) 
                         IMPLIES lim(f, a) <= b

  lim_ge2    : LEMMA convergent?(f, a) AND adh[T](E)(a) AND 
                     (FORALL x : E(x) IMPLIES f(x) >= b) 
                         IMPLIES lim(f, a) >= b

  lim_order2 : LEMMA convergent?(f1, a) AND convergent?(f2, a)  AND adh[T](E)(a)
                     AND (FORALL x : E(x) IMPLIES f1(x) <= f2(x))
                         IMPLIES lim(f1, a) <= lim(f2, a)


  AUTO_REWRITE+ adherence_fullset



END lim_of_functions

¤ Dauer der Verarbeitung: 0.18 Sekunden  (vorverarbeitet)  ¤





Kontakt
Drucken
Kontakt
sprechenden Kalenders

Eigene Datei ansehen




schauen Sie vor die Tür

Fenster


Die Firma ist wie angegeben erreichbar.

Die farbliche Syntaxdarstellung ist noch experimentell.


Bot Zugriff



                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     


Neuigkeiten

     Aktuelles
     Motto des Tages

Software

     Produkte
     Quellcodebibliothek

Aktivitäten

     Artikel über Sicherheit
     Anleitung zur Aktivierung von SSL

Muße

     Gedichte
     Musik
     Bilder

Jenseits des Üblichen ....
    

Besucherstatistik

Besucherstatistik