Anforderungen  |   Konzepte  |   Entwurf  |   Entwicklung  |   Qualitätssicherung  |   Lebenszyklus  |   Steuerung
 
 
 
 


Quellcode-Bibliothek

© Kompilation durch diese Firma

[Weder Korrektheit noch Funktionsfähigkeit der Software werden zugesichert.]

Datei: ml_pretty.ML   Sprache: PVS

Original von: PVS©

integral_def[T: TYPE FROM real]: THEORY
%----------------------------------------------------------------------------
%
%    Definition of Riemann Integral
%    Author: Rick Butler
%    Major Revision:  12/1/03
%
%----------------------------------------------------------------------------
BEGIN

   ASSUMING
      IMPORTING deriv_domain_def[T]

      connected_domain : ASSUMPTION connected?[T]


      not_one_element : ASSUMPTION not_one_element?[T]

   ENDASSUMING


   IMPORTING finite_sets@finite_sets_minmax[real,<=] %, finite_sets_more

   AUTO_REWRITE+ finseq_appl

   a,b,x: VAR T
   f,g: VAR [T -> real]

%   open_interval  (a:T,b:{x:T|a<x}): TYPE = { x | a <  x AND x <  b}
%   closed_interval(a:T,b:{x:T|a<x}): TYPE = { x | a <= x AND x <= b}

   IMPORTING reals@intervals_real[T]

% % Unlike Rosenlicht index runs from 0 to N-1:

%    partition(a:T,b:{x:T|a<x}): TYPE = 
%               {fs: finite_sequence[closed_interval(a,b)] | 
%                     Let N = length(fs), xx = seq(fs) IN
%                     N > 1 AND xx(0) = a AND xx(N-1) = b AND
%                     (FORALL (ii: below(N-1)): xx(ii) < xx(ii+1))}

%    width(a:T, b:{x:T|a<x}, P: partition(a,b)): posreal =
%              LET xx = seq(P), N = length(P) IN
%                       max({ l: real | EXISTS (ii: below(N-1)):
%                                          l = xx(ii+1) - xx(ii)}) 

%    width_lem     : LEMMA (FORALL (a:T), (b:{x:T|a<x}),
%                             (P: partition(a,b)),(ii: below(length(P)-1)):
%                          width(a,b,P) >= P(ii+1) - P(ii))

%    parts_order   : LEMMA  FORALL (P: partition(a,b), ii,jj: below(length(P))):
%                               ii < jj IMPLIES seq(P)(ii) < seq(P)(jj)


%    parts_order_le: LEMMA FORALL (P: partition(a,b),ii,jj: below(length(P))):
%                              ii <= jj IMPLIES seq(P)(ii) <= seq(P)(jj)


   
%    parts_disjoint: LEMMA FORALL (P: partition(a,b), ii,jj: below(length(P)-1)):
%                              seq(P)(ii) < x AND x < seq(P)(1 + ii) AND
%                              seq(P)(jj) < x AND x < seq(P)(1 + jj)
%                              IMPLIES
%                                 jj = ii

%    in_part?(a:T, b:{x:T|a<x},P: partition(a,b),xx:T): MACRO bool = 
%                         EXISTS (ii: below(length(P)-1)): xx = seq(P)(ii)

%    in_sect?(a:T, b:{x:T|a<x},P: partition(a,b),
%             ii: below(length(P)-1),xx:T): MACRO bool = 
%                       seq(P)(ii) < xx AND xx < seq(P)(ii+1)


%    part_in       : LEMMA FORALL (P: partition(a,b)):    
%                              a < b AND a <= x AND x <= b IMPLIES
%                                  (EXISTS (ii: below(length(P)-1)): 
%                                        seq(P)(ii) <= x AND x <= seq(P)(ii+1))

%    part_not_in       : LEMMA a < b IMPLIES FORALL (P: partition(a,b)):    
%                                 FORALL (ii,jj: below(length(P)-1)): 
%                                   seq(P)(ii) < x AND x < seq(P)(ii+1) 
%                                 IMPLIES x /= seq(P)(jj)

%    Prop: VAR [T -> bool]
%    part_induction: LEMMA  (FORALL (P: partition(a,b)): 
%                               (FORALL ( x: closed_interval(a,b)):
%                            LET xx = seq(P), N = length(P) IN 
%                    (FORALL (ii : below(N-1)):
%                            xx(ii) <= x AND x <= xx(ii+1) IMPLIES
%                                 Prop(x))
%                   IMPLIES Prop(x) ) )


%    IMPORTING reals@sigma_below, reals@sigma_upto

%    eq_partition(a:T,b:{x:T|a<x},N: above(1)): partition(a,b) =
%                   (# length := N,
%                      seq := (LAMBDA (ii: below(N)): a + ii*(b-a)/(N-1)) #)


%    xis?(a:T,b:{x:T|a<x},P:partition(a,b))
%          (fs: [below(length(P)-1) -> closed_interval(a,b)]): bool = 
%               (FORALL (ii: below(length(P)-1)): 
%                      P(ii) <= fs(ii) AND fs(ii) <= P(ii+1))


%    AUTO_REWRITE+ xis?


%    xis_lem: LEMMA FORALL (P: partition(a,b), (xis: (xis?(a,b,P))),
%                          (ii: below(length(P)-1))):
%                          P(ii) <= xis(ii) AND xis(ii) <= P(ii+1)


%    AUTO_REWRITE+ xis_lem



%    Rie_sum(a:T,b:{x:T|a<x},P:partition(a,b),
%                   xis: (xis?(a,b,P)),f:[T->real]): real =
%                   LET N = length(P)-1 IN
%           sigma[below(N)](0,N-1,(LAMBDA (n: below(N)):
%                                        (P(n+1) - P(n)) * f(xis(n))))


%    Rie_sec(a:T,b:{x:T|a<x},P:partition(a,b), xis: (xis?(a,b,P)), f:[T->real], 
%            n: upto(length(P)-1)): real = 
%                            IF n = 0 THEN 0
%                            ELSE (seq(P)(n) - seq(P)(n - 1)) * f(xis(n-1)) 
%                            ENDIF

%    Rie_sum_alt(a:T,b:{x:T|a<x},P:partition(a,b),
%                   xis: (xis?(a,b,P)),f:[T->real]): real =
%                   LET N = length(P)-1 IN
%                      sigma[upto(N)](1,N,(LAMBDA (n: upto(N)): 
%                             Rie_sec(a,b,P,xis,f,n)))

%    Rie_sum_alt_lem: LEMMA a < b IMPLIES
%                             FORALL (P: partition(a,b), (xis: (xis?(a,b,P)))):
%                                Rie_sum(a,b,P,xis,f) = Rie_sum_alt(a,b,P,xis,f) 



%    Riemann_sum?(a:T,b:{x:T|a<x},P:partition(a,b),f:[T->real])(S:real): bool =
%      (EXISTS (xis: (xis?(a,b,P))): LET N = length(P)-1 IN
%            S = Rie_sum(a,b,P,xis,f))
                           

    integral?(a:T,b:{x:T|a<x},f:[T->real],S:real): bool % = 
   %               (FORALL (epsi: posreal): (EXISTS (delta: posreal):
   %                  (FORALL (P: partition(a,b)):
   %                      width(a,b,P) < delta IMPLIES
   %                         (FORALL (R: (Riemann_sum?(a,b,P,f))):
   %                              abs(S - R) < epsi))))


   % x_in(aa:T,bb:{x:T|aa<x}): {t: T | aa <= t AND t <= bb}

   % pick_one(a:T,b:{x:T|a<x},P: partition(a,b))(ii: below(length(P)-1)): real =
   %                             x_in(P(ii), P(ii+1)) 


   % gen_xis(a:T,b:{x:T|a<x},P: partition(a,b)): (xis?(a,b,P)) = 
   %                                   (# length := length(P) - 1,
   %                                      seq :=  pick_one(a,b,P)
   %                                    #)


   % N: VAR above(1)

   % len_eq_part  : LEMMA a < b IMPLIES length(eq_partition(a,b,N)) = N 
   % eq_part_lem_a: LEMMA a < b IMPLIES seq(eq_partition(a,b,N))(0) = a 
   % eq_part_lem_b: LEMMA a < b IMPLIES seq(eq_partition(a,b,N))(N-1) = b

   % width_eq_part: LEMMA a < b IMPLIES 
   %                          width(a,b,eq_partition(a,b,N)) = (b-a)/(N-1)


   % delta: VAR posreal
   % N_from_delta: LEMMA a < b IMPLIES
   %                        LET N = 2 + floor((b - a) / delta),
   %                            EP = eq_partition(a, b, N) IN
   %                        width(a, b, EP) < delta


   % Riemann?_Rie: LEMMA a < b IMPLIES FORALL (P: partition(a,b),
   %                                           xis: (xis?(a,b,P))): 
   %                             Riemann_sum?(a,b,P,f)(Rie_sum(a,b,P,xis,f)) 


   % AUTO_REWRITE+ Riemann?_Rie

   % A1, A2: VAR real
   % integral_unique: LEMMA a < b AND integral?(a,b,f,A1) AND
   %                           integral?(a,b,f,A2) IMPLIES A1 = A2


    integrable?(a:T,b:{x:T|a<x},f:[T->real]): bool = 
                      (EXISTS (S: real): integral?(a,b,f,S))

    integral(a:T,b:{x:T|a<x}, ff: { f | integrable?(a,b,f)} ):
                     {S: real | integral?(a,b,ff,S)}


   % s: VAR real
   % integral_def: LEMMA a < b IMPLIES  
   %                 ( (integrable?(a,b,f) AND integral(a,b,f) = s)
   %                        IFF integral?(a,b,f,s) )


    integral_restrict_eq: AXIOM a < b AND
                                 (FORALL x: a <= x AND x <= b IMPLIES
                                           f(x) = g(x)) AND
                                integrable?(a,b,f)
                           IMPLIES integrable?(a,b,g) AND
                                    integral(a,b,g) = integral(a,b,f)


   Integrable?(a:T,b:T,f:[T->real]): bool % = (a = b) OR
  %                               (a < b AND integrable?(a,b,f)) OR
  %                               (b < a  AND integrable?(b,a,f))


   Integrable_funs(a,b): TYPE = { f | Integrable?(a,b,f)} 
 
   % Integral?(a:T,b:T,f:[T->real],S:real): bool = (a = b AND S = 0) OR
   %                             (a < b AND integral?(a,b,f,S))
                              
  
   Integral(a:T,b:T,f:Integrable_funs(a,b)): real % =
%                        IF a = b THEN 0
%                        ELSIF a < b THEN integral(a,b,f)
%                        ELSE -integral(b,a,f)
%                       ENDIF                

   Integrable?_rew   : AXIOM a < b AND Integrable?(a,b,f) IMPLIES integrable?(a,b,f)
   Integral_rew      : AXIOM a < b AND Integrable?(a,b,f) IMPLIES Integral(a,b,f) = integral(a,b,f)


END integral_def


%  Note: The definition of Riemann_sum:
%  
%  
%     Rie_sum(a:T,b:{x:T|a<x},P:partition(a,b),
%      xis: (xis?(a,b,P)),f:[T->real]): real =
%      LET N = length(P)-1 IN
%      sigma[below(N)](0,N-1,(LAMBDA (n: below(N)):
%   (P(n+1) - P(n)) * f(xis(n))))
%  
%  uses sigma[below] rather than sigma[nat].  This produces some
%  additional tedium, but makes it unnecessary to surround the
%  LAMBDA expression with an IF for type-correctness
%
%   Rie_sum(a:T,b:{x:T|a<x},P:partition(a,b),
%                  xis: (xis?(a,b,P)),f:[T->real]): real =
%                  LET N = length(P)-1 IN
%          sigma[nat](0,N-1,(LAMBDA (n: nat): IF n < N THEN
%                                       (P(n+1) - P(n)) * f(xis(n))
%                                             ELSE 0
%                                             ENDIF))

¤ Dauer der Verarbeitung: 0.25 Sekunden  (vorverarbeitet)  ¤





Druckansicht
unsichere Verbindung
Druckansicht
sprechenden Kalenders

in der Quellcodebibliothek suchen




Haftungshinweis

Die Informationen auf dieser Webseite wurden nach bestem Wissen sorgfältig zusammengestellt. Es wird jedoch weder Vollständigkeit, noch Richtigkeit, noch Qualität der bereit gestellten Informationen zugesichert.


Bemerkung:

Die farbliche Syntaxdarstellung ist noch experimentell.


Bot Zugriff



                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     


Neuigkeiten

     Aktuelles
     Motto des Tages

Software

     Produkte
     Quellcodebibliothek

Aktivitäten

     Artikel über Sicherheit
     Anleitung zur Aktivierung von SSL

Muße

     Gedichte
     Musik
     Bilder

Jenseits des Üblichen ....
    

Besucherstatistik

Besucherstatistik