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%% subinterval_deriv.pvs

subinterval_deriv : THEORY
BEGIN

  IMPORTING interval_deriv, analysis@deriv_domain

  n : VAR nat

  deriv_domain_Xt: LEMMA FORALL(X:(StrictInterval?)): deriv_domain?[Xt[X]]

  subinterval_deriv : LEMMA
    FORALL(X,Y:(StrictInterval?),f:[Xt[X]->real]):
      Y << X AND
      Diff?(f) IMPLIES
      (Diff?(LAMBDA(x:Xt[Y]):f(x)) AND
       D(LAMBDA(x:Xt[Y]):f(x)) = LAMBDA(x:Xt[Y]):D(f)(x))

  subinterval_derivn : LEMMA
    FORALL(X,Y:(StrictInterval?),f:[Xt[X]->real]):
      Y << X AND
      Diffn?(n)(f) IMPLIES
      (Diffn?(n)(LAMBDA(x:Xt[Y]):f(x)) AND
       Dn(n,LAMBDA(x:Xt[Y]):f(x)) = LAMBDA(x:Xt[Y]):Dn(n,f)(x))


END subinterval_deriv

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