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Datei: convergence_functions.pvs   Sprache: PVS

Untersuchung PVS©

power_series_deriv_scaf[T: TYPE from real]: THEORY
%----------------------------------------------------------------------------
%
% Term by term differentiation of power series
%
% The intention here is that one passes in the domain of convergence [T]
% of the power series.  This will either be all of the reals or {x| -R < x < R}
% where R is the range of convergence
%
% Author: Ricky W. Butler        7/23/04
%
%
%----------------------------------------------------------------------------
BEGIN
 
   ASSUMING  %% T is either "real" or a open ball of radius R about 0

     IMPORTING analysis@deriv_domain_def

     connected_domain : ASSUMPTION connected?[T]

     not_one_element : ASSUMPTION not_one_element?[T]

     open            : ASSUMPTION 
         FORALL (x : T) : EXISTS (delta : posreal): FORALL (y: real):
                            abs(x-y) < delta IMPLIES T_pred(y) 


    ball: ASSUMPTION FORALL (x: T): T_pred(x) IMPLIES T_pred(-x)

   ENDASSUMING

   deriv_domain: LEMMA deriv_domain?[T]

   x,x0,xp: VAR T
   k,n: VAR nat
   a,b: VAR sequence[real]
   t: VAR real
   epsilon: VAR posreal
   m: VAR nat

   IMPORTING power_series_derivseq[T], analysis@taylors

   AUTO_REWRITE- abs_0
   AUTO_REWRITE- abs_nat

   GET_tk_prep: LEMMA FORALL (x: T,h:(A(x)),k: posnat): 
                      nonempty?[between[T](x, x + h)]
                           ({tk: between[T](x, x + h) |
                              ((x + h) ^ k - x ^ k) / h = k * tk ^ (k - 1)})


   GET_tk(x: T,h:(A(x)),k: posnat): {tk: between[T](x,x+h) | 
                         ((x+h)^k - x^k)/h = k*tk^(k-1)}


   Gseq(a,x,(h:(A(x))))(k): real = IF k < 2 THEN k*a(k) ELSE
                                     k*a(k)*(GET_tk(x,h,k)^(k-1) - x^(k-1))
                                   ENDIF


   conv_scaf0: LEMMA conv_powerseries?(a) IMPLIES 
                    convergent?(series(LAMBDA k: IF k < 2 THEN 0
                                    ELSE abs(k) * abs(k - 1) * abs(a(k)) *
                                     abs(x^(k - 2))
                                     ENDIF))



   A2seq(a,x,(xp:{xx:T | xx /= 0} ))(k): real = 
                                  LET ALPH = max(abs(x), abs(xp)) IN
                                  IF k < 2 THEN k ELSE
                                     abs(k)*abs(k-1)*abs(a(k)*ALPH^(k - 2))
                                  ENDIF

   fseq(a)(n): real = (1+n)*(2+n)*a(2+n)

   A2_conv_scaf: LEMMA abs(powerseq(a, x)) = powerseq(abs(a),abs(x))

   A2_conv: LEMMA  xp /= 0 AND 
                   conv_powerseries?(a)
                   IMPLIES 
            convergent?(series(A2seq(a,x,xp),2))


   delta: VAR posreal


   Gseq_conv: LEMMA conv_powerseries?(a) IMPLIES FORALL (h:(A(x))): 
                                       conv_series?(Gseq(a, x, h), 2)

   abs_Gseq_conv: LEMMA conv_powerseries?(a) IMPLIES FORALL (h:(A(x))): 
                                       conv_series?(abs(Gseq(a, x, h)), 2)

   inf_sum_Gseq_abs: LEMMA conv_powerseries?(a) IMPLIES FORALL (h:(A(x))): 
                           abs(inf_sum(2, Gseq(a, x, h))) <=
                                inf_sum(2, abs(Gseq(a, x, h)))

   conv_scaf2: LEMMA conv_powerseries?(a) IMPLIES
                     FORALL (h:(A(x))): convergent?(series((LAMBDA k:
                           IF k < 2 THEN k * a(k)
                           ELSE k * a(k) * GET_tk(x, h, k) ^ (k - 1)
                           ENDIF),
                        1))


%    conv_scaf1: LEMMA conv_powerseries?(a) IMPLIES
%                      FORALL (h:(A(x))): convergent?(series((LAMBDA (k: nat):
%                            IF k = 0 THEN 0
%                            ELSE a(k) * ((x + h) ^ k - x ^ k)
%                            ENDIF)))

   conv_scaf1: LEMMA conv_powerseries?(a) IMPLIES
                     FORALL (h:(A(x))): convergent?(series((LAMBDA (k: nat):
                             a(k) * ((x + h) ^ k - x ^ k)
                           )))



   conv_scaf3: LEMMA conv_powerseries?(a) IMPLIES
                     FORALL (h:(A(x))):  conv_series?((LAMBDA k:
                      a(k) * (((x + h) ^ k - x ^ k) / h)),
                   1)


   limit_eq_rew: LEMMA convergent?(a) AND convergent?(b) AND a = b 
                     IMPLIES limit(a)  = limit(b) 

END power_series_deriv_scaf




¤ Diese beiden folgenden Angebotsgruppen bietet das Unternehmen0.20Angebot  Wie Sie bei der Firma Beratungs- und Dienstleistungen beauftragen können  ¤





Begriffe der Konzeptbildung
Was zu einem Entwurf gehört
Begriffe der Konzeptbildung
Hier finden Sie eine Liste der Produkte des Unternehmens

Mittel




Lebenszyklus

Die hierunter aufgelisteten Ziele sind für diese Firma wichtig


Ziele

Entwicklung einer Software für die statische Quellcodeanalyse


Bot Zugriff



                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     


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